Сферический треугольник
Сферическим треугольником называется фигура, состоящая из трех точек сферы и трех
отрезков, попарно соединяющей эти точки. Здесь под отрезками понимаем меньшую из двух дуг большой окружности, проходящей через эти точки.
Три больших окружности, пересекаясь попарно в двух точках, образуют на сфере восемь
сферических треугольников. Зная элементы (стороны и углы) одного из них можно определить элементы всех остальных, поэтому рассматривают соотношение между элементами одного из них, того, у которого все стороны меньше половины большой окружности.(рис.13)
Многие свойства сферического треугольника (а оно одновременно являются и
свойствами трехгранных углов) почти полностью повторяют свойства обычного треугольника, среди них- неравенство треугольника или, например, три признака равенства треугольника. Все планиметрические следствия упомянутых теорем вместе с их доказательствами остаются справедливыми на сфере.
Равнобедренные сферические треугольники.
Сферический треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Всякий сферический треугольник, наложимый на треугольник, ему симметричный, - равнобедренный.
Действительно, в силу того, что оба треугольника имеют противоположное расположение, невозможно наложить один
треугольник на другой так, чтобы совпадали соответственные вершины, т.е. вершины, находящиеся первоначально на концах одного диаметра; если бы среди сторон треугольника не было равных между собой, то такое наложение было бы невозможно и ни каким другим образом.
Обратно, всякий равнобедренный сферический треугольник наложим на треугольник, ему симметричный.
Если треугольник А'В'С' симметричен треугольнику АВС и если АВ равно АС, то два треугольника АВС и А'С'В', имеющие (при
выбранном порядке вершин каждого из них) одно и тоже расположение, равны по второму признаку равенства.
Теорема. В равнобедренном сферическом треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны.
Действительно, при совмещении треугольника АВС (АВ=АС) с симметричным ему треугольником А'С'В' угол, совпадающий с
углом В', есть угол С'; таким образом, оба эти угла равны, и тоже самое имеет место и для углов С и В'.
Обратно, всякий сферический треугольник, два угла которого равны, равнобедренный.
Действительно, если АВС сферический треугольник, в котором угол В = углу С и треугольник А'В'С' – треугольник, ему
симметричный, то треугольники АВС и А'С'В', имеющие одинаковое расположение равны по первому признаку равенства, и, следовательно, АВ=А'С'=АС.
Площадь сферического треугольника
Будем называть площадью сферической фигуры, по аналогии с площадью плоской фигуры, действительное число,
удовлетворяющее следующим трём требованиям:
-
площадь сферической фигуры является положительным числом, (свойство позитивности),
-
площадь сферической фигуры не изменяется при движении (свойство инвариантности),
-
если сферическая фигура разложена на две сферические фигуры, то площадь данной фигуры равна сумме площадей двух фигур, на которые она разложена (свойство аддитивности).
Так как сферический треугольник по своим свойствам и признаком схож с треугольником на плоскости, сначала вспомним свойства обычного треугольника на плоскости.